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现实生活中，常会遇到重新安排事物顺序的场景，比如洗牌、整理书架等。在数学中，重新安排对应排列(permutations)。对 个不同的事物有 种不同的排列方法。本文介绍的对称群(Symmetric Groups)，可从排列中很自然的产生。凯莱定理(Cayley's theorem)说：排列——这种工具足够强大，可用来建立任意群。Arthur Cayley (1821-1895)假设有5个对象，可用以下形式来表示排列第 和第 个元素对换： ，第1行是从1到5的序号，第2行是重新排列后的顺序。如果视排列为函数 ，第一行为输入，第二行为输出。那么排列 与排列 的续贯操作，就如同函数组合(function composition) 。比如：排列 与 续贯操作等于 。注意函数组合是从右向左的，以1为例： ；以2为例： .来源：https://www.mathsisfun.com/sets/functions-composition.html这种表示方法不够高效，下面将介绍更简洁的循环表示法，以 为例， ，表示为 ; ，表示为 ，整体表示为 ，称为循环分解(cycle decomposition)。 由3个元素组成，称为“3-cycle”， 由两个元素组成，称为“2-cycle”，“2-cycle”也称换位(Transposition)。若两个cycle没有重复的元素，则它们的顺序可互换，如： 。若两个cycle存在重复元素，则不能互换顺序，如 ，LHS： ; RHS： .对上例略作变化： 可以表示为： ，注意到其中包含了2个1-cycle: ，由于1-cycle没进行任何改变，故可略去不写，故最终结果可表示为 。其实，未必要从 开始，也可从 开始，于是：结果表达为 ；同样的，如果从 开始，结果表示为 ，上面3个cycle是等价的。习惯上，选择最小的数作为开始，本例为 。排列与群的概念很吻合，在“群的定义”一文中，我们定义了群的概念如下，逐条对下，排列都满足：群G(Group)的元素属于一个集合 如果对一个特定collection中的元素进行排列，比如数字1，2，3，得到了一个包含 个元素的集合，下面几点可以自行考虑下；G对应的二元操作(Binary Operation)以 表示；封闭性(Closed under operation): 对G的两个元素进行任何操作，结果仍在集合内，即： for all ；恒等元(Identity): 存在一个元素 ， ； 逆(Inverse): 对每一个 的元素 ，都存在一个元素 ，使得 ； 每种排列都可逆；结合律(Associativity): . 个对象所有的重新排列组成对称群 ， 表示对称 Symmetric. S4的凯莱图 来源：Visual Group Theory上图是 的凯莱图，为了不太拥挤，具体数字没有标。 共 个对象，其凯莱图是被“砍掉”8个角的立方体，被称为“Truncated Cube”。虽然对 个对象进行排列构成一个群，但是建立一个排列群并非一定需要所有的排列，通常 的子集就可以构成群，一种著名的方法就是取一半 的元素，构成交错群 ，但是并非随意选一半都能构成群，但如果选取 中每个元素并对其进行平方，平方后得到的元素整好是 的一半，称为交错群(Alternating Group) 。下图说明了 的形成过程，左边是 ，右边是平方后的元素，6个元素中的4个相同，都是恒等元素，什么变化都不做(2个元素交换两次，打回原形)，故右侧实际包含3个不变的元素，是左边的一半，这三个元素就是 。A3 来源：Visual Group Theory题图是柏拉图固体(Platonic solids)，柏拉图固体是种三维的多面体，其中每个面都是(每个角相等，每条边相等)正多边形。柏拉图固体只有图中的5种(可证明)。A4的凯莱图 来源：Visual Group Theory四面体的对称群是 ，包含了4个对象所有排列的一半。立方体和八面体都对应同一个对称群 ，这也是为什么 的凯莱图类似立方体的原因。十二面体和二十面体都对应同一个对称群 ，其大小为 ，可分别以“砍角的”十二面体和二十面体来显示。A5的凯莱图 来源：Visual Group Theory

有人将麻将，桥牌，围棋棋牌问答，国际象棋称为世界上最智慧的娱乐。这样能看出麻将绝对不止是坏的一面。我们在有时间时邀请三五好友进行几圈麻将绝对是调节紧张生活的有效手段；当几个不认识的通过某些事情走到一起，来一圈麻将棋牌问答，绝对能拉近你们之间的关系，抓牌，打牌中就能了解一个人的性格和品行；当我们步入老年生活，打麻将更是几个老朋友聚在一起经常干的事。